矢量代数入门#

什么是矢量？#

不同学科有三种理解方式：

物理学家：矢量是一个有大小和方向的量（直观地看就是一个箭头）
程序员：一个 $n$ 维数组
数学家：一个集合定义了加法数乘，再满足其他八个规则（如恒元，逆元，分配律），就乘这个集合为矢量空间，矢量空间中的元素就是矢量，只要满足这些规律，任何对象都可以看作是矢量，比如函数，矩阵等等关于这三个定义是否等价，梁先生在《电磁学拓展篇》15章的P133做了非常有趣的讨论（梁先生这部分内容是模拟学生和老师对话展开的，非常接地气，十分推荐读者读一读），具体内容放在这里这里，下面是摘要
- 梁先生首先定义了矢量空间，然后定义了在P点的切矢，并且指出切矢只是P点的性质,和曲线无关，就好像电偶极子只是模型在这一点的性质
- 区分了矢量空间和矢量场
  - 矢量空间是在一个点上的，只和这一个点有关，你可以想象在一个曲线上的一个点上画出很多的箭头来
  - 矢量场是在空间中的每个点确定一个矢量，想象河流中每一点的流速（如果确定的是标量就是标量场，想象天空中每一点的温度）
  - (joke)羽毛球会落地是因为有羽毛球场
- 矢量可以通过坐标变换来定义（这也是理解张量的一种方法，在微分几何（还没写）中我们会详细地讨论此事），很显然矢量本身是和坐标系无关的，但是一但想要描述矢量，我们却不得不选取一个坐标系来描述矢量，然而选取不同坐标系的描述结果是不一样的，怎么办呢？干脆就通过坐标变换来描述矢量 $\vec{x^{\prime}} =A \vec{x}$，写成指标就是 $x^{\prime i}=A^{i}{j}x{j}$

爱因斯坦求和约定#

有的书上将其称做“符号”，这其实是不对的，因为我们实际上没有引入任何的新符号

动机#

例如对于两个三维的矢量的点乘有 $\vec{a} \cdot \vec{b}=\sum_{i=1}^{3}a_ib_i$ 这是我们自高中就很熟悉的公式为了表示方便，我们将 $a_ib_i$ 前的求和符号去掉（稍后你就会看到这种约定的简便性），然后约定每看到两个重复的脚标，就将其求和，最后一般约定英文字母是从 1 - 3 求和，而希腊字母是从 1-4 求和（当然也有任氏 qft, rft 这种随意更换约定并且不在文中标注的邪教，大家不要学，也有从 0-3 求和的，本文的希腊字母脚标以 1-4 求和为准）

定义#

$$\text{英文字母}\quad a_ib_i=\sum_{i=1}^{3}a_ib_i,\text{希腊字母} \quad a_{\mu}b_{\mu}=\sum_{\mu=1}^{4}a_{\mu}b_{\mu}$$

克罗内克符号#

动机#

当你已经有一个矢量 $\vec{a}=a_i \vec{e_i}$ ，如何从中获得其中一个分量 $a_j$? 凭直觉，你使用点乘 $\vec{a} \cdot \vec{e_j}=a_i \vec{e_i} \cdot \vec{e_j}=a_j$ 其中的 $\vec{e_i} \cdot \vec{e_j}$ 我们将其用一个符号 $\delta_{ij}=\vec{e_i} \cdot \vec{e_j}$ 来代替他

定义#

$$ \delta_{\mu\nu}=\begin{cases} 0,\quad if \quad \mu \neq \nu \ 1,\quad if \quad \mu = \nu \end{cases} $$ 即只有两角标相等的时候，才为一

用处和性质#

有了这个符号后，我们可以用另一种方式来表示单位正交基 $\vec{e}{i}=\begin{bmatrix} \delta{1i} \ \delta_{2i} \ \vdots \ \delta_{3i} \end{bmatrix}$ 和单位矩阵 $I=\begin{pmatrix} \delta_{11} &\delta_{12} & \delta_{13} \ \delta_{21} & \delta_{22}& \delta_{23}\ \delta_{31}& \delta_{32}& \delta_{33}\\end{pmatrix}$ 性质：

显然两个角标是可交换的 $\delta_{ij}=\delta_{ji}$
两个克罗内克符有重复指标时直接被吞掉 $\delta_{ij}\delta_{jk}=\delta_{i 1}\delta_{1k}+\delta_{i 2}\delta_{2k}+\delta_{i3}\delta_{3k}=^{\text{只有ik相等时才为1，其他时候都为0}}=\delta_{jk}$ 即 $\delta_{ij}\delta_{jk}=\delta_{ik}$
有时我们会将其写成 $\delta^{\mu}_{\nu}$ 如果你没有学过广相请忽略之

里维奇符号#

动机#

在高数中你已经很熟悉叉乘了 $$\vec{c}=\vec{a} \times \vec{b}=\begin{bmatrix} \vec{e_1} & \vec{e_2} & \vec{e_3} \ a_1 & a_2 & a_3 \ b_1 & b_2 & b_3 \end{bmatrix}$$

按照总动机中提到的想法，我们将其分量具体写出来是长什么样的呢？ $$ \begin{align} (\vec{a} \times \vec{b})_1&=a_2b_3-a_3b_2 \ (\vec{a} \times \vec{b})_2&=-a_1b_3+a_3b_1 \ (\vec{a} \times \vec{b})_3&=a_1b_2-a_2b_1 \end{align} $$

如果想用一个统一的公式来表示各个分量 $$ (\vec{a} \times \vec{b})i=(SomeFunctionOfijk)a_jb_k $$ 自视甚高的数学家们可能就直接写"观察到，不难注意到这个 SomeFunctionOfijk 就是下面的 $\epsilon{ijk}$ “了，不过我们也没想出来什么好办法来更容易地观察到，我建议你代入式子来验证一遍就行了即 $$ \vec{a} \times \vec{b}=\epsilon_{ijk} a_jb_k\vec{e_i} $$ 或者写出其分量（$()_{i}$代表这个式子的 $i$ 分量） $$ (\vec{a} \times \vec{b})i=\epsilon{ijk}a_jb_k $$

定义#

$$ \epsilon_{ijk} =\begin{cases} 1 \quad if \quad \text{ijk分别为123的偶次轮换，即123 312 231} \ －1 \quad if \quad \text{ijk分别为123的奇次轮换，即321 132 213} \ 0,\text{otherwise} \end{cases} $$

性质#

任意交换两个脚标，符号相反 $\epsilon_{ijk}=-\epsilon_{ikj}$
$\epsilon_{ijk}$ 实际上是一个三阶反对称赝张量，关于这部分将在微分几何的笔记中详细叙述，见（还没写呢，有三指标就是三阶，交换后指标符号相反导致反对称

用法#

交换三重积#

$$ \begin{aligned} &\vec{a} \cdot (\vec{b}\times \vec{c})=&\vec{c}\cdot (\vec{a}\times \vec{b})&=&\vec{b} \cdot (\vec{c}\times \vec{a}) \ =-&\vec{a}\cdot (\vec{c}\times \vec{b})=- &\vec{c}\cdot (\vec{b}\times \vec{a})&=-&\vec{b} \cdot (\vec{a}\times \vec{c}) \end{aligned} $$ 利用 $\vec{a}\cdot (\vec{b}\times \vec{c})=a_{i} (\vec{b}\times \vec{c}){i}=a{i}\epsilon_{ijk}b_{j}c_{k}$ 根据 $\epsilon_{ijk}$ 的定义可以立刻推得上式（这个式子在我们快速推导（但不是证明） $\nabla \cdot (\vec{a}\times \vec{b})$时有大用）

$\epsilon_{ijk}$ 的另一种定义方式#

利用三重积的定义 $$ \vec{a}\cdot (\vec{b}\times \vec{c})=\delta_{li}a_{l} \epsilon_{ijk}b_{j}c_{k}=\epsilon_{ijk}a_{i}b_{j}c_{k}=\begin{bmatrix} a_1& a_2& a_3\ b_1& b_2& b_3\ c_1 &c_2 & c_3\ \end{bmatrix} $$ 现在我们把 $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ 分别代入 $\vec{e}{1}\vec{e}{2}\vec{e}{3}$，再利用 $\vec{e}{i}=\begin{bmatrix} \delta_{1i} \ \delta_{2i} \ \delta_{3i} \end{bmatrix}$，便得到 $$ \vec{e}{i} \cdot (\vec{e}{j}\times \vec{e}{k})=\begin{bmatrix} \delta{1i}& \delta_{2i}& \delta_{3i}\ \delta_{1j}& \delta_{2j}& \delta_{3j}\ \delta_{1k} & \delta_{2k}&\delta_{3k} \ \end{bmatrix}=\epsilon_{ijk}e_{i}e_{j}e_{k} $$ 由于 $e_{i}e_{j}e_{k}=1$ $$ \epsilon_{ijk}=\begin{bmatrix} \delta_{1i}& \delta_{2i}& \delta_{3i}\ \delta_{1j}& \delta_{2j}& \delta_{3j}\ \delta_{1k} & \delta_{2k}&\delta_{3k} \ \end{bmatrix} $$ 这样就得到了另一种 $\epsilon_{ijk} $ 的定义方式了

两个里维奇符号的乘积#

$\epsilon_{ijk}\epsilon_{lmn}$的值如何计算？直接使用刚才得到的 $\epsilon_{ijk}$ 的新定义来试试罢！ $$ \epsilon_{ijk} \epsilon_{l m n}=\begin{bmatrix} \delta_{1i}& \delta_{2i}& \delta_{3i}\ \delta_{1j}& \delta_{2j}& \delta_{3j}\ \delta_{1k} & \delta_{2k}&\delta_{3k} \ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} \delta_{1l}& \delta_{2l}& \delta_{3l}\ \delta_{1m}& \delta_{2m}& \delta_{3m}\ \delta_{1n} & \delta_{2n}&\delta_{3n} \ \end{bmatrix} $$ 怎么计算？直接用矩阵的乘法试试看两个 $3\times 3$矩阵的乘积肯定还是一个 $3\times 3$的矩阵我们先看看乘出的新矩阵的第一列是什么，$\begin{bmatrix} \delta_{1i}\delta_{1l}+\delta_{2i}\delta_{1m}+\delta_{3i}\delta_{1n} \ \delta_{1j}\delta_{1l}+\delta_{2j}\delta_{1m}+\delta_{3j}\delta_{1n} \\delta_{1k}\delta_{1l}+\delta_{2k}\delta_{1m}+\delta_{3k}\delta_{1n} \end{bmatrix}$ 这九个数中，只有第一列的三个数 $\delta_{1i}\delta_{1l},\delta_{1j}\delta_{1l},\delta_{1k}\delta_{1l}$是好算的，因为可以利用前文提到的性质 $\delta_{ij}\delta_{jk}=\delta_{ik}$直接算出值分别为 $\delta_{il},\delta_{jl},\delta_{kl}$，其他的式子我们并不能再化简了虽然用上面的方法我们并没有得到最终答案，但是受到了启发：两个delta相乘时，如果能将中间的数字匹配上（比如都同时是1，2，3），就能将答案化简，那怎么做呢？你突然灵光一闪，观察到左边的矩阵的第一列，和右边的矩阵的第一行，数字刚好是对上的！矩阵的行列式，取了转置是不变的，所以说，只要右边的矩阵取个转置就行了现在两个矩阵的乘积就变成了

$$ \begin{aligned} \epsilon_{ijk} \epsilon_{l m n}&=\begin{bmatrix} \delta_{1i}& \delta_{2i}& \delta_{3i}\ \delta_{1j}& \delta_{2j}& \delta_{3j}\ \delta_{1k} & \delta_{2k}&\delta_{3k} \ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} \delta_{1l} & \delta_{1m}&\delta_{1n} \ \delta_{2l} & \delta_{2m}&\delta_{2n} \ \delta_{3l} & \delta_{3m}&\delta_{3n}\end{bmatrix}\ \end{aligned} $$ 现在我们再来看看左边矩阵的第一行乘右边矩阵的第一列是什么 $$ \begin{bmatrix} \delta_{1i}\delta_{1l}+\delta_{2i}\delta_{2l}+\delta_{3i}\delta_{3l} \ \delta_{1j}\delta_{1l}+\delta_{2j}\delta_{2l}+\delta_{3j}\delta_{3l} \\delta_{1k}\delta_{1l}+\delta_{2k}\delta_{2l}+\delta_{3k}\delta_{3l} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \delta_{il} \ \delta_{jl} \ \delta_{kl} \end{bmatrix} $$ 这是因为 $\delta_{ik}\delta_{kl}=\delta_{i1}\delta_{1l}+\delta_{i 2}\delta_{2l}+\delta_{i 3}\delta_{3l}=\delta_{il}$,并且delta是可交换的 $\delta_{i1}=\delta_{1i}$ 以此类推，可得到整个结果 $$ \epsilon_{ijk}\epsilon_{lmn}=\begin{bmatrix} \delta_{il} & \delta_{im}& \delta_{in}\ \delta_{jl}& \delta_{jm}& \delta_{jn}\ \delta_{kl}& \delta_{km}& \delta_{kn}\\end{bmatrix} $$

克罗内克符号和里维奇符号之间的关系#

懒惰的物理人会直接告诉你：里维奇符号要遵循 $\epsilon_{ijk}\epsilon_{ilm}=\delta_{jl}\delta_{km}-\delta_{jm}\delta_{kl}$ 的祖宗章程！谁敢改祖宗章程，谁就要掉脑袋！倘若你质疑并且请求给出一个证明，他就会说：“呵，将 ijk 的每个值 123 代入，验证可得等式两边始终相等，岂非简单？”这种证明当然无可厚非，但是对数理学习是毫无帮助的，试想有人请你证明费马大定理，你却说将每个数代入得等式两边相等，岂非荒谬？

下面我们以负责的态度，用两种方法来证明 $\epsilon_{ijk}\epsilon_{ilm}=\delta_{jl}\delta_{km}-\delta_{jm}\delta_{kl}$

证明一利用三重积的定义证明#

作者是在允文君的视频中了解到这种方法的

再回到我们想证明的命题上，计算一下 $\epsilon_{ijk}\epsilon_{ilm}$ 的值

$$ \begin{aligned} \epsilon_{ijk}\epsilon_{ilm}&=\begin{bmatrix} \delta_{1i}& \delta_{2i}& \delta_{3i}\ \delta_{1j}& \delta_{2j}& \delta_{3j}\ \delta_{1k} & \delta_{2k}&\delta_{3k} \ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} \delta_{1i}& \delta_{2i}& \delta_{3i}\ \delta_{1l}& \delta_{2l}& \delta_{3l}\ \delta_{1m} & \delta_{2m}&\delta_{3m} \ \end{bmatrix} \ &=\begin{bmatrix} \delta_{ii} & \delta_{il}& \delta_{im}\ \delta_{ji}& \delta_{jl}& \delta_{jm}\ \delta_{ki}& \delta_{kl}& \delta_{km}\\end{bmatrix}\ &=\begin{bmatrix} 1 & \delta_{il}& \delta_{im}\ \delta_{ji}& \delta_{jl}& \delta_{jm}\ \delta_{ki}& \delta_{kl}& \delta_{km}\\end{bmatrix} \end{aligned} $$ 答案已经呼之欲出了，我们观察一下这个式子 $ijk$ 是一组的，$ilm$是一组的，都必须是 $123$ 的轮换所以在这任意一组中，任何两个指标的值都不可能相同，否则整个式子必定为零，就不用看右边了，这说明 $ij$ 不可能相同，即 $\delta_{ij}$ 必为零以此类推，只要是同一组里面的三指标都不能相同，所以 $\delta_{ij},\delta_{ik}=0,\delta_{il},\delta_{im}=0$ 这样，整个式子只有五项不是零了

$$ \begin{aligned} \epsilon_{ijk}\epsilon_{ilm}&=\begin{bmatrix} 1 & 0& 0\ 0& \delta_{jl}& \delta_{jm}\ 0& \delta_{kl}& \delta_{km}\\end{bmatrix}\ &=\delta_{jl}\delta_{km}-\delta_{jm}\delta_{kl} \end{aligned} $$ 读者可以这样记忆这个式子：不相同指标顺序乘减交叉乘

证明二梁灿彬先生的盒子证法#

这部分内容略长，我们放在这里请记住$\epsilon_{ijk}\epsilon_{ilm}=\delta_{jl}\delta_{km}-\delta_{jm}\delta_{kl}$是一个威力巨大的定理，下面举一例以窥

e.g.三叉乘#

如果你想要计算 $\vec{a} \times (\vec{b}\times \vec{c} ) $ 我们展开成分量式 $$ \begin{aligned} &(\vec{a} \times (\vec{b}\times \vec{c} )){i}=\epsilon{ijk} a_{j} (\vec{b}\times \vec{c}){k}=\epsilon{ijk}a_{j}\epsilon_{klm}b_{l}c_{m} \ &=\epsilon_{kij}\epsilon_{klm}a_{j}b_{l}c_{m}=(\delta_{il}\delta_{jm}-\delta_{im}\delta_{jl})a_{j}b_{l}c_{m}\ &=\delta_{il}\delta_{jm}a_{j}b_{l}c_{m}-\delta_{im}\delta_{jl}a_{j}b_{l}c_{m}\ &=a_{m}c_{m}b_{j}-a_{j}b_{j}c_{i}\ &=(\vec{a} \cdot \vec{c} )\vec{b}-(\vec{a}\cdot \vec{b})\vec{c} \end{aligned} $$ $$ \vec{a}\times (\vec{b}\times \vec{c} )=(\vec{a} \cdot \vec{c} )\vec{b}-(\vec{a}\cdot \vec{b})\vec{c} $$ 我们将其记作口诀：“点远乘近，减点近乘远”

曲线坐标系#

相信读者已经非常熟悉直角坐标系，球坐标系，柱坐标系了 $$ \begin{aligned} &\vec{r}=x_{1} \vec{e}{1}+x{2}\vec{e}{2}+x{3}\vec{e}{3} \ &\vec{r}=r \vec{e}{r}\ &\vec{r}= \end{aligned} $$